domingo, 3 de octubre de 2010

La leyenda del inventor del ajedrez

Hoy os voy a contar la famosa leyenda del inventor del Ajedrez. Dice así la historia: el Rey de Persia aburrido en los ratos muertos, de repente quedó fascinado por el juego del ajedrez, el cual le presentó un inventor ingenioso e inteligente. Se cuenta que quedó tan agradecido que el rey ofreció al matemático oriental lo que deseara.
El inventor contestó:
- Me conformo con 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta y así hasta la casilla 64 del tablero. (Es decir la suma de los 64 primeros términos de una P.G. de razón 2 y cuyo primer término es 1).
El rey se mofó pensando la minucia que le estaba pidiendo y solicitando a su visir que preparara el premio solicitado, hizo los cálculos y se dio cuenta que era imposible cumplir la orden, pues la suma de los granos de las 64 casillas era nada menos que la cantidad de 18.446.744.073.709.551.616 granos (en cada Kilogramo de trigo caben aproximadamente unos 28220 granos, por lo que el resultado sería de unas 653.676.260.585 toneladas; que ocuparían un depósito en forma de cubo de algo más de 11,5 Km de lado. Para producir tal cantidad de trigo se necesitaría estar cultivando la Tierra, incluidos los mares, durante ocho años).
Hay una segunda parte de la historia, que es la siguiente, debido al bochorno del rey de tener que aceptar que no tenía granos suficientes para pagarle, consulto a otro hombre inteligente e ingenioso de su corte para que le sacara del apuro y este le propuso lo siguiente:

- Para que vea el inventor cuan generoso eres, ofrécele no sólo la suma de los 64 primeros términos, sino la suma de un tablero infinito de ajedrez.
A lo que el rey exclamó:

-¡¡¡Estás loco!!! Si no tengo para pagarle lo de un tablero normal de ajedrez, como voy a hacer para prolongar la suma hasta el infinito, serían infinitos granos...


Pero el ayudante ingenioso le dijo:

-Llevamé ante el inventor del ajedrez y confía en mí, que todo va a salir bien!!!!:
Una vez allí reunidos, el ingenioso ayudante le propuso al inventor, que el rey estaba tan contento y felíz con el juego del ajedrez y se mostraba tan generoso, que no sólo se ofrecía a darle la suma de las 64 casillas, sino la suma de las casillas de un tablero infinito de ajedrez. A lo que, encogiéndose de hombros el inventor aceptó. Y el ayudante del rey empezó a explicar:
Llamemos S = 1+2+4+8+16+..... (a la suma de los infinitos granos de trigo del tablero infinito). Ahora la multiplicamos por 2, con lo cual tendremos 2·S = 2+4+8+16+32+.... A continuación restamos 2·S - S = (2+4+8+16+....)-(1+2+4+8+16+....)
con lo cual, al quitar los paréntesis, los sumandos del segundo paréntesis cambian todos de signo y se nos van anulando con los del primer parénteis que son positivos y así pues nos queda que
S = -1.
Es decir : no sólo ya no le tenía que pagar al inventor, sino que encima éste le debía un grano. ¡¡¡Sorprendente ¿no?!!!!!!
¿Donde diríais que está la explicación de este problema? Pues..... espero vuestras respuestas y en unos días os contesto. ¡¡¡PENSAD Y TENDREIS RECOMPENSA!!!!



4 comentarios:

  1. Hola, interesante la explicación intuyo que puede estar relacionado con los límites en el infinito y sus divergencias (limites derivadas, etc). espero la respuesta. Buen artículo

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    1. Hola:
      Gracias por tu comentario. En realidad está relacionado con las operaciones con los infinitos y las indeterminaciones a las que da lugar el restar dos infinitos (dado que no son números, no se puede operar con ellos como si lo fueran) que es lo que se hace en la historia. Me alegro que te haya gustado.
      Salu2
      Maribel

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  2. nadie se da cuenta de que el final esta mal? al restar los terminos no solo queda el -1 sino tambien queda el 2^65 que sale de haber multiplicado 2^64 x 2 por lo cual la sucesion 2s-s sale 2^65-1

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    1. Hola:
      Creo que si lees con atención la historia, te darás cuenta de que no suma sólo los granos de las 64 casillas del ajedrez sino que suma infinitos términos. Revisa lo que comentas y te darás cuenta.
      Salu2
      Maribel

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